Một nhà toán học 79 tuổi có thể vừa giải được một câu đố về chiều vô hạn khiến các nhà lý thuyết khó chịu trong nhiều thập kỷ

Bài viết này ban đầu được xuất bản tại Cuộc trò chuyện. Ấn phẩm đã đóng góp bài viết cho Space.com’s Tiếng nói của chuyên gia: Op-Ed & Insights.

Nathan BrownloweGiảng viên cao cấp tại Trường Toán học và Thống kê tại Đại học Sydney.

Hai tuần trước, một giấy khiêm tốn đã được tải lên máy chủ in sẵn arXiv với tiêu đề khiêm tốn “Về vấn đề không gian con bất biến trong không gian Hilbert”. Bài viết chỉ dài 13 trang và danh sách các tài liệu tham khảo của nó chỉ chứa một mục duy nhất.

Bài báo có mục đích chứa mảnh cuối cùng của trò chơi ghép hình mà các nhà toán học đã chọn ra trong hơn nửa thế kỷ: bài toán không gian con bất biến.

Các bài toán mở nổi tiếng thường thu hút những nỗ lực đầy tham vọng nhằm tìm ra lời giải của các nhân vật thú vị để tạo nên tên tuổi của chúng. Nhưng những nỗ lực như vậy thường nhanh chóng bị các chuyên gia bác bỏ.

Tuy nhiên, tác giả của ghi chú ngắn này, nhà toán học Thụy Điển Mỗi Enflo, không phải là người mới nổi đầy tham vọng. Ông ấy đã gần 80 tuổi, nổi tiếng với việc giải quyết các bài toán mở và có khá nhiều kinh nghiệm với bài toán hiện tại.

Per Enflo: toán học, âm nhạc và một con ngỗng sống

Sinh năm 1944 và hiện là giáo sư danh dự tại Đại học Bang Kent, Ohio, Enflo đã có một sự nghiệp đáng nể, không chỉ trong toán học mà còn trong âm nhạc.

Anh ấy là một nghệ sĩ piano hòa nhạc nổi tiếng, người đã biểu diễn và thu âm nhiều bản hòa tấu piano, cũng như đã biểu diễn độc tấu và với các dàn nhạc trên khắp thế giới.

Enflo cũng là một trong những người giải quyết vấn đề tuyệt vời trong lĩnh vực gọi là giải tích hàm. Bên cạnh công trình của ông về bài toán không gian con bất biến, Enflo đã giải quyết hai bài toán lớn khác – bài toán cơ sở và bài toán xấp xỉ – cả hai bài toán này vẫn còn bỏ ngỏ trong hơn 40 năm.

Bằng cách giải bài toán gần đúng, Enflo đã giải được một câu đố tương đương có tên là bài toán con ngỗng của Mazur. Nhà toán học người Ba Lan Stanisław Mazur vào năm 1936 đã hứa tặng một con ngỗng sống cho bất kỳ ai giải được bài toán của mình – và vào năm 1972, ông đã giữ lời, tặng con ngỗng đó cho Enflo.

một không gian con bất biến là gì?

Bây giờ chúng ta biết nhân vật chính. Nhưng còn vấn đề không gian con bất biến thì sao?

Nếu bạn đã từng tham gia khóa học đại học năm thứ nhất về đại số tuyến tính, bạn sẽ bắt gặp những thứ gọi là vectơ, ma trận và vectơ riêng. Nếu bạn chưa biết, chúng ta có thể coi vectơ là một mũi tên có chiều dài và hướng, nằm trong một không gian vectơ cụ thể. (Có rất nhiều không gian vectơ khác nhau với số chiều khác nhau và nhiều quy tắc khác nhau.)

Đọc thêm: Người giải thích: điểm của toán học thuần túy

Ma trận là thứ có thể biến đổi một vectơ, bằng cách thay đổi hướng và/hoặc độ dài của đoạn thẳng. Nếu một ma trận cụ thể chỉ biến đổi độ dài của một vectơ cụ thể (có nghĩa là hướng giống nhau hoặc lộn ngược hướng), thì chúng ta gọi vectơ đó là vectơ riêng của ma trận.

Một cách khác để nghĩ về điều này là nói rằng ma trận biến đổi các vectơ riêng (và bất kỳ đường nào song song với chúng) trở lại chính chúng: những đường này là bất biến đối với ma trận này. Tổng hợp lại, chúng ta gọi các đường thẳng này là các không gian con bất biến của ma trận.

Các vectơ riêng và không gian con bất biến cũng được quan tâm ngoài toán học – lấy một ví dụ, người ta nói rằng Google có được thành công nhờ “véc tơ riêng trị giá 25 tỷ đô la”.

Còn những không gian có vô số chiều thì sao?

Vì vậy, đó là một không gian con bất biến. Bài toán không gian con bất biến phức tạp hơn một chút: đó là về các không gian có số chiều vô hạn, và nó hỏi liệu mọi toán tử tuyến tính (tương đương với một ma trận) trong các không gian đó có phải có một không gian con bất biến hay không.

Chính xác hơn (hãy ngả mũ): bài toán không gian con bất biến hỏi liệu mọi toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian Banach phức X có thừa nhận một không gian con bất biến không tầm thường M của X hay không, theo nghĩa là có một không gian con M ≠ {0} , X của X sao cho T(M) được chứa lại trong M.

Nói theo cách này, bài toán không gian con bất biến đã được đặt ra vào giữa thế kỷ trước, và đã làm lu mờ mọi nỗ lực tìm lời giải.

Đọc thêm: Sự trả thù của Pythagoras: con người không phát minh ra toán học, đó là thứ tạo nên thế giới

Nhưng thường xảy ra trường hợp khi các nhà toán học không giải được một bài toán, chúng ta di chuyển các cột gôn. Các nhà toán học nghiên cứu vấn đề này đã thu hẹp trọng tâm của họ bằng cách giới hạn vấn đề vào các lớp không gian và toán tử cụ thể.

Bước đột phá đầu tiên được thực hiện bởi Enflo vào những năm 1970 (mặc dù kết quả của ông mãi đến năm 1987 mới được công bố). Ông đã trả lời bài toán theo hướng phủ định, bằng cách xây dựng một toán tử trên một không gian Banach không có một không gian con bất biến không tầm thường.

Có gì mới về giải pháp đề xuất mới này?

Vì vậy, tình trạng hiện tại của vấn đề không gian con bất biến là gì? Nếu Enflo đã giải được nó vào năm 1987, tại sao anh ấy lại giải được lần nữa?

Chà, Enflo đã giải quyết vấn đề cho không gian Banach nói chung. Tuy nhiên, có một loại không gian Banach đặc biệt quan trọng gọi là không gian Hilbert, mang đậm tính hình học và được sử dụng rộng rãi trong vật lý, kinh tế học và toán ứng dụng.

Việc giải quyết vấn đề không gian con bất biến đối với các toán tử trên không gian Hilbert là một việc hết sức khó khăn và đây chính là điều mà Enflo tuyên bố đã đạt được.

Lần này Enflo trả lời khẳng định: bài báo của ông lập luận rằng mọi toán tử tuyến tính có giới hạn trên không gian Hilbert đều có một không gian con bất biến.

Đánh giá của chuyên gia vẫn còn đến

Tôi chưa xem qua từng dòng in sẵn của Enflo. Bản thân Enflo là báo cáo thận trọng về giải pháp, vì nó chưa được các chuyên gia xem xét.

Đánh giá ngang hàng về chứng minh trước đó của Enflo, đối với không gian Banach nói chung, mất vài năm. Tuy nhiên, bài báo đó đã dài tới hơn 100 trang, vì vậy việc xem lại 13 trang của bài báo mới sẽ nhanh hơn nhiều.

Nếu đúng, đó sẽ là một thành tựu đáng kể, đặc biệt là đối với một người đã tạo ra rất nhiều thành tựu đáng kể trong một khoảng thời gian dài như vậy. Nhiều đóng góp của Enflo cho toán học và câu trả lời của ông cho nhiều bài toán mở đã tạo ra tác động lớn đến lĩnh vực này, tạo ra các kỹ thuật và ý tưởng mới.

Tôi đang mong muốn tìm hiểu xem liệu công trình của Enflo giờ đã khép lại cuốn sách về bài toán không gian con bất biến hay chưa, và để xem nền toán học mới có thể xuất hiện từ kết luận của nó.

Bài viết này được đăng lại từ Cuộc trò chuyện theo giấy phép Creative Commons. Đọc bài báo gốc.

Theo dõi tất cả các vấn đề và cuộc tranh luận của Tiếng nói chuyên gia — và trở thành một phần của cuộc thảo luận — trên Facebook và Twitter. Các quan điểm thể hiện là của tác giả và không nhất thiết phản ánh quan điểm của nhà xuất bản. theo dõi chúng tối trên Twitter @Spacedotcom hoặc trên Facebook.